Ibland förekommer 'upphöjt till' och 'potens' för något på formen xy (till exempel 23) som i det enklaste fallet kan ses som 'upprepad multiplikation'.
26 är ett kortare sätt att skriva 2*2*2*2*2*2.
Det kan jämföras med att man kan betrakta vissa fall av multiplikation som 'upprepad addition' (till exempel är 2*5 detsamma som 2+2+2+2+2).
Ifall man har ett heltal n som inte är negativt (n ∈ N) så innebär alltså an att man multiplicerar a med sig själv n st gånger, om n=4 så är a4 detsamma som a*a*a*a.
Exempel: a4 * a3 = a4+3 = a7, vilket kan motiveras av (a*a*a*a) * (a*a*a) = a*a*a*a*a*a*a = a7
I det allmänna fallet gäller am * an = am+n om m och n är positiva heltal.
Ifall dessutom m>n gäller även am / an = am-n.
a0 definieras av praktiska skäl till 1 (givet att a inte är noll) vilket kan motiveras av: an / an = an-n = a0 = 1.
(a3)4 = a3*4 = a12, och i det allmänna fallet: (am)n = am*n.
Ibland kan det hända att lärare ger en uppgiften att räkna ut något i stil med 37 * 93, och där kanske utmaningen är att se att 9 kan skrivas om som 32 vilket således innebär att man kan skriva om problemet som 37 * 36.
Ifall man har ett heltal n som möjligen är negativt (n ∈ Z) så kan man inspieras av ovantående am / an = am-n där n skulle kunna vara ett större heltal än m och därmed blir (m-n) ett negativt heltal. Exempelvis 23 / 25 = 2-2 = 1/4. Ifall a inte är noll och k är ett positivt heltal definieras a-k = 1/ak.
Ifall man har två heltal m och n (där n inte är noll) och låter x = m/n (m, n ∈ Z, x ∈ Q) skulle man kunna fundera över ifall ax betyder något som är användbart? Det visar sig att man kan använda ovanstående räkneregler även här. Man kan inspireras av 'upphöjt flera gånger' ovan och notera att exempelvis (a2)1/2 = a2/2 = a1 = a, och därmed definiera 1/2 i potensen som "roten ur", 1/3 i potensen som "kubikroten ur" och 1/4 i potensen som "fjärde roten ur" osv. Om man betrakar 3/7 i potensen skulle man kunna tolka a3/7 som (a1/7)3, med andra ord 'sjunde roten ur a i kubik'. Om man undrar (som det alltid är bra att göra) om sjunde roten ur (a i kubik) är detsamma som (sjunde roten av a) i kubik ger samma svar så visar det sig alla typer av 'tal' man stöter på upp till första mattekursen på univeritet/högskola har två egenskaper som heter 'associativitet' och 'kommutativitet' som i det här fallet innebär att 'ja - det blir alltid samma'.
Det finns ett antal siffror inom matematiken som varken är heltal eller rationella tal (till exempel pi, e och roten ur två) och ifall man betraktar irrationella tal (mängden R består av heltal, rationella tal och irationella tal) visar det sig att man kan ge en användbar definition av potenser även för dessa där ovanstäende räkneregler gäller, och den typen av potenser är användbara för både ingenjörer, naturvetare och samhällsvetare på olika sätt.
Tal på formen a + ib (där i är det imaginära talet och a, b ∈ R) brukar kallas för komplexa tal. Jag kan tycka att namnen kan vara lite 'avskräckande', och kanske antyder att 'imaginära' tal är mindre 'verkliga' än andra, och att komplexa tal kanske är 'svårare' att hantera än andra. Hur som helst är de användbara inom matematik och naturvetenskaper, och beroende på vad man pluggar på gymnasiet kanske vissa ser dessa första gången där. Lyckligtvis går det att (för x ∈ C) låta ax få en användbar definition som uppfyller ovanstående räkneregler. Även dessa är användbara för matematiker, ingenjörer och naturvetare.