Andragradspolynom

Polynom i en variabel av grad 2 ser i allmänhet ut som ax² + bx + c där a inte är noll. Om man tänker sig en funktion f(x) = ax² + bx + c skulle dess graf kunna se ut ungefär enligt följande (beroende av värden på a, b och c):

Att lösa en andragradsekvation i en variabel?

Om man ska 'lösa en andragradsekvation' (i en variabel) innebär det att man söker de x som uppfyller ax² + bx + c = 0, och då förlorar man inget på att förkorta bort faktorn a så att man får något på formen x² + dx + e = 0 (vilket förstås är ekvivalent med x² + dx = -e). I grundskolan / gymnasiet (och även i tillämpningar) antar man oftast att de sökta lösningarna är bland de reella talen (eller möjligen bland de komplexa).

För ändamålet finns den så kallade 'pq-formeln' som vissa lär sig utantill. Det är inget fel med det, den löser uppgiften om man pluggar in värdena, men i mitt tycke kanske den inte är den mest pedagogiska och ifall man inte lär sig varför den fungerar kanske det inte är så lätt att inse.

Möjligen kanske man sett konjugatregeln som säger att (x + a)(x - a) = x² - a² och kvadreringsregeln (som ibland marknadsförs som om den är 2 regler) som säger att (x + a)² = x² + 2ax + a² och ifall man har en tillräckligt enkel ekvation kanske man ser direkt hur man kan skriva om den till någon av de två fallen.

Kvadratkomplettering

Jag tycker att kvadratkomplettering är den enklaste metoden för att hitta nollställen till andragradspolynom. Den bygger i likhet med pq-formeln på kvadreringsregeln, och jag tänkte försöka motivera den både visuellt/geometriskt och algebraiskt här. Jag tänkte använda x² + 26x = 27 som exempel, men metoden fungerar naturligtvis för alla andragradsekvationer med lösningar bland de reella eller komplexa talen.

Geometrisk motivation

Om man betraktar x² som en kvadrat med sidlängden x och 26x som en rektangel med sidlängderna 26 och x kan man betrakta det som att summan av deras ytor ska bli 27 enligt ekvationen.

Ifall man delar upp rektangeln i två lika stora bitar får man två rektanglar med sidlängden x och 13 har vi inte förändrat något i vänsterledet.

I bilden ovan har man nästan en kvadrat, sånär som att det saknas en bit i den nedre högra delen. Ifall man lägger till en kvadrat med sidlängden 13 både där och i ekvationens högerled så gäller fortfarande likheten och då har vi i vänsterledet fått en kvadrat med sidlängden x+13, medan högerledet blir 27 + 13 ² = 27 + 169 = 196 (som råkar vara 14²).

Således har vi att vänsterledet är en rektangel med ytan (x + 13)² och högerledet 196, och därmed kan man utläsa att sidlängden i rektangeln (x+13) ska vara 14 och ifall man drar bort 13 på båda sidorna får man x = 1. Ifall man betraktar det som en rent geometrisk fråga kanske det är lätt att tänka att negativa sidlängder inte är relevanta, men i det allmänna fallet så är även -14 en rot till 196 och i det fallet är således även x = -27 en lösning.

Algebraisk motivation

Ifall man har en andragradsekvation på formen x² + px = q så är en vanlig väg att försöka få vänsterledet att se ut som kvadreringsregeln, och ifall man lägger till (p/2)² i både vänsterledet och högerledet gäller fortfarande likneten och vi har då: x² + px + (p/2)² = q + (p/2)², och då kan man skriva om vänsterledet till: (x + p/2)². Kvadratroten ur vänsterledet kan skrivas som x+p/2, och för högerledet finns tre möjliga alternativ som påverkar vilka lösningar som finns till ekvationen:

• Högerledet är strikt större än noll, vilket ger två reella lösningar.
• Högerledet är exakt noll, vilket ger en reell lösning (som kan betraktas som två likadana lösningar).
• Högerledet är negativt, vilket innebär att ekvationen saknar reella lösningar (men har två komplexa lösningar).

Oavsett vilket av de tre fallen som är aktuellt får man lösningar via: x₁ = -p/2 + √(q+(p/2)²) respektive x₂ = -p/2 - √(q+(p/2)²).

Förtydligande som oftast utelämnas

När man i grundskolan och gymnasiet exponeras för polynom på formen ax² + bx + c ges nästan alltid exempel där a, b och c är element i Z, Q eller R men det poängteras sällan, och oftast säger man inget om fallet där de är element i C. Och oftast är det implicit att de förväntade svaren ska vara element i R (eller möjligen i C) men när man kommer till användingar efter skolan kan det finnas skäl att söka lösningar i Z eller Q eller något annat talsystem ibland.

Polynom av fler än en variabel

Andragradspolynom kan förstås innehålla fler än en variabel. Ifall man har en ekvation med två variabler kan lösningsmängden vara en andragradskurva (exempelvis en ellips eller parabel) och om man har tre variabler kan man få andragradsytor (exempelvis en sfär). Ifall man har fler än tre variabler blir det eventuella resultatet svårare att visualisera, men principen är densamma.